gPOENPtPO, isPF´ÓOdPyPY oPF amPFrPñPL
SFUrPqrP aAigPO ePkPPWvPFA SFUrPq TPAikPP| ainPLkPP sPFmPFbPL isPFvhPF aAigPOrP SFUrPqWvPFA sPFAfPOAvhPF EdPLibPL kPPrPAvhPF HPAÐPOnPLQbPL| aAEmPFoPF ePvhPF fPOÿAikPP sPFAfPOAvhPFWvPFA igPOibPL EnPLvhPF| çpPOLTPimPFvhPF HPilP rPAEKP, ePvhPF çpPOLHPÓ÷Pì ikPPAnPL nPLtUOnPL tPOTPz idPLHPArP jPLnPLz nPLbPL, nPLbPL ikPPAnPL gPOAlPBPOArPQ gPOiHPXPNPArP gPOÜP HPlPArP jPLnPLz| ePWvPFA EnPLCPFkPPvhPF isPFvhPF sPFHP tPOTPz, GPLWvPFnPLA aArP nPLAmPF sPFÈ÷ÖªPì, yPA ainPLkPP sPFmPFbPL EVPFkPP mPFtPO iKPbPLAlP kPPErP nPLA| mPFAinPL DPFrPqNP aApPOLEnPL aApPOLnPLArP jPLAmPFAWvPFA irPAjPL pPOLirPnPL, EkPPÙUO tPOAitPO EVPFkPP kPPWvPFA iHPAtPOAmPF aAiCPF iKPbPLAlP kPPirPiCPFnPL EkPP? ePoPF isPFvhPF rPkPPmPF aArP EkPP| EkPPCUF çpPOLHPÓ÷Pì ElPKPitPO EgPOibPL BUOgPOitPO hPFbPL tPOiTPzrP açpPOLtUOlPtPOAbPL, gPOENPtPO EnPLibPL ElPKPitPO igPOilP HPzApPOLArPWvPFA EVPFkPP wvPOiÃFWvPFA| ePKPAinPL tPOiTPzrP çpPOLAcUFyPY ePtPO iHPSPFQ iyP sPFMi¾PPipPOL EkPPCUF ilPKPAvhPF mFUSPFEkPPlP! çpPOLcUFrP HPvhPF, ErPipPOLAWvPFY, jPLAnPLYAlP CPFAwxPFAoPF hPFAitPOrP kPPAiCPFvhPF rPibPLiCPF google.com@| tPOAvhPF aASPFA kPPrPECPF ePKPAinPL yPA ElPKPiHPA tPOArP ainPLkPP EkPPCUFvhPF aApPOLnPLArPA vhPF×FWvPFAirPinPLWvPF iTPikPP yPAcPFAvhPF kPPirP EnPLitPO pPOLArPiHPnPL| sPFHPiSPFiXP HPElP gPOENPtPO aArP sPFMKPzA EnPLibPL EkPPCUF ElPKPitPO HPisPFECPF mPFAinPL aAEmPF EkPPCUF dLUDPFYXPY gPOENPtPOEHPdPL - ePmPFnPL nPLbPL EkPPÙUO| HPrPM EnPLijPLvhPF aÌPOWvPFA BPOAilPA kPPirP pPOLArPtPOAmPF nPLA HPilP, sPFHP sPFmPFbPL gPOENPtPO¸PPidPLrP EdPLikPP ePkPPWvPFA ePkPPWvPFA sPFÇLimPFrP dLÖEêPLitPO tPOAkPPAtPOAmPF, ainPLikPPrP mPFtPO aAmPFArPoPF ECPFlP tPOÿAidPLrP jPLQHPnPL EnPLibPL ePkPPWvPFA ikPP´tUOhPFlP - ikPPmPFnPL kPPirP tPOÿArPA kPPAjPL kPPirPnPL, HPAéPFiHPrP sPFAiTP tPOÿAidPLrP iyPAgPO kPPtPOKPAEnPL HPA tPOÿAidPLrP gPOiHPXPNPA aAmPFAidPLrP jPLQHPinPLrP sPFAiTP kPPtPOWvPFA sPFrPAsPFErP yUÀoPLÝ| ePvhPF sPFHP çpPOLiSLÔPrP wvPOÀoP`LrP KLUÿjPLitPO EgPOibPLvhPF ePvhPF ilPKPArP sFZÀeOL`pPOLAtPO|
ikPPAnPLKPAnPL iTPikPP SFUrPq kPPrPHP EVPFkPP HUJPFitPO pPOLArPECPF nPLA| sPFmPFéPF EHP¸PPAnPLQidPLrP mPFiDPFz yPÿArPA gPOENPitPOrP sPFAiTP yUÀoPLÝ tPOÿAidPLrP EnPLibPL ePtPO wvPOpPOLkPPTPA, ePtPO rPWvPFnPLA iyP tPOArP iTPikPP sPFEtPOz ikPPAnPLWvPFA aArP ikPPAnPLWvPFA EmPFiTPz KLUÿijPL HPArP kPPrPAvhPF mFUSPFEkPPlP| tPOAhPFilP aAsFUnPL gPOÜP EdPLibPLvhPF SFUrPq kPPrPA yPAkPP|
ePkPP mPFinPLArPmPF çLgPFQiäFÉPrP
sPFkPPAilP EtPOnPLHPÓ÷Uì EmPFilP ãFFkPPWvPFlPzAiLÕPL
ePkPP çLgPFAimPFrP wvPOpPOLrP EdPLibPL iæWvPFinPL kPPirP yPAE©CPFilPnPL|
HPÓ÷UìidPLrP mPFiDPFz ePkPPjPLnPL ECPFilPnPL ijPLzAEtPOEHPY¸PPAnPLQ,
ePkPPjPLnPL pPOLdPLATPYEHP¸PPAnPLQ oPF apPOLrPjPLnPL gPOENPtPO¸PP|
hPFVPFAð iæWvPFinPLrP pPOLAiSPF mPFAiVPF cPFrPitPO TPAkPPA ePkPPWvPFA
kPPAilPA iBPOwxPFAikPP idPLiKP ijPLzAEtPOEHPY¸PPAnPLQ HPilP wvPOVPFilPnPL,
EkPP aAåcPFyPY, ãFFkPPWvPFlPzAiLÕPLrP sPFHP iBPOwxPFAvhPF
idPLEKP kPPAilPA|
ePvhPF kPPTPArP çpPOLEtPOHPAdPL kPPirP pPOLdPLATPYEHP¸PPAnPLQ
HPlPilPnPL, nPLA, nPLA - ãFFkPPWvPFlPzAiLÕPLrP ikPPHPlP EkPPCUF
iBPOwxPFArP rPÊPF kPPAilPA|
ePvhPFsPFHP SFUinPL tPOÿAidPLrP HPÓ÷Uì gPOENPtPO¸PP
aAkPPAiSPFrP EdPLikPP tPOAEkPPibPL gPOÆPFQrPBPOAiHP HPilP wvPOVPFilPnPL,
ePvhPF iBPOwxPFAWvPFA idPLiKP aAmPFrPA ikPPHPlP ePvhPF EsPFªPìAiÙPO
aAsPFitPO pPOLAErP iyP, ãFFkPPWvPFlPzAiLÕPL ePkPPWvPFA mPFAVPF
aAiCPF nFZznPLtPOmPF pPOLi¾PP, isPFvhPF mPFAiVPF ePkPPWvPFA iBPOwxPFA
cPFirP iHPwxPFAi©CPF, iyPvhPF iBPOwxPFArP ePkPPWvPFA EdPLkPP nFZznPLtPOmPF
pPOLi¾PP kPPAilPA|
gPOENPtPOEHPdPL mPFAinPLvhPF KLUÿtPOKLUÿitPO, HPAéPFiHPrP sPFAiTP iyPAgPOhPFQnPL, aApPOLnPLiBPOAlPA ePkPPWvPFA mPFAnFUiXPrP CPFEHP aAmPFAidPLrP mPFinPL iBPOisPF oPFiVPF| ePWvPFA ainPLkPP sPFmPFbPL sPFEtPOz aAHPArP ainPLikPPrP i¾PPiÀeOL` ePWvPFA nPLbPL| ãO÷PÜP pPOLErPsPFirP vhPFEtPOhPFAsPF HPlPA sPFÆPFHP nPLbPL, ePmPFnPL EkPP EHPKPzAtPO gPOENPtPO¸PPidPLrP ikPPHPlP nPLAmPF mPFAÀeOL` wvPOi`ÂlPKP kPPrPitPO igPOilPvhPF ainPLkPP jPLAbPLgPOArP dPLrPkPPArP hPFiHP| tPOAvhPF aAmPFrPA ePvhPF aAilPAcPFnPLAitPO ikPPHPlP 'sPFMKPzAtPOiÀoFüOLrP'mPFiDPFzvhPF sPFQmPFAHPªPì TPAkPPHP| ainPLikPPrP mPFitPO gPOENPitPOrP ePvhPF SPFAKPAWvPFAvhPF nPLAEkPP sPFHPicPFibPL aAkPPXPYNPQbPL| hPFitPOoPF pPOLAirP HPA, tPOiHP iyPWvPFA anPLãO÷PQkPPAyPY isPFWvPFA hPFlP aAmPFAidPLrP jPLQHPinPL sPFMKPzArP aHPdPLAnPL| isPFvhPF EHPãPFÉPbPLkPPrP sPFAdLÖSPFz EnPLibPL aAmPFrPA pPOLirP EHPéPFAErPtPO aAilPAcPFnPLAitPO yPAHP|
mPFAnFUXP EcPFrPkPPAlP DPFirP gPOENPtPO sPFÈ÷PÓ÷PìQbPL
dLUEWvPF anPLÙPO EjPL¸PPAsPFA EnPLibPL HPisPF aAiCPF| gPOENPitPOrP
çpPOLkFÖOEtPO (nature
of mathematics) aArP gPOENPitPOrP dPLSPFYnPL
(philospohy of mathematics)@|
EHP¸PPAinPLrP iyP ikPPAnPL SPFAKPArP ePHPM tPOArP sPFAiTP gPOENPitPOrPoPF
EHPiSPFXP ikPPAnPL çpPOLiSLÔPrP wvPOðpPOLEÀoP`L jPLAnPLitPO
hPFilP aAmPFAidPLrP isPFvhPF çpPOLAcPFQnPL yUigPO EfPOirP iyPitPOvhPF
hPFiHP| ePWvPFA HPArPHPArP çpPOLmPFAENPtPO hPFibPLiCPF iyP, iyPvhPF
sPFBPOztPOA yPtPO wvPOnÔPEtPO kPPirPiCPF tPOArP mPFinPL ECPFlP anFUsPFEÓ÷PìðsPFA
aArP nPLtUOnPL EkPPCUF KLUÿijPL HPArP kPPrPArP wvPOdPLçLgPF vhPF©CPFA|
gPOENPitPOrP wvPOnÔPEtPOitPO isPFvhPF rPkPPmPFvhPF çpPOLAcPFQnPL
dLUEWvPF sPFBPOtPOA hPFlP EmPFSPFrPQbPL ePHPM HPzAEHPlPnPLQbPL| sPFMKPzAtPOÀoFüOLvhPF
ihPFAkPP aArP jPLzAEmPFEtPOrP ikPPAnPL EHPXPbPLvhPF ihPFAkPP, ePidPLrP EBPOEÀoP`L
ePKPnPLoPF ainPLkPP sPFmPFbPL isPFvhPF hPFAjPLArP hPFAjPLArP HPCPFrP aAigPOvhPF
aAEHPúÖOtPO tPOiÀoFüOLrP wvPOpPOLrP EnPLBPOYrP kPPirP|
aArP EVPFkPP ePvhPFKPAinPLvhPF çpPOLAcPFQnPL BPOArPtPOQbPL sPFBPOztPOArP
aHPdPLAnPLoPF kPPmPF nPLbPL| aAmPFrP itPOA mPFAiJPF mPFAiJPF ePKPnPLoPF SFZnPLz
ilPKPArP sPFmPFbPL aHPicPFtPOnPL mPFinPL gPOEHPYtPO hPFibPL wvPOEVPF iyP ePWvPFA
aAmPFAidPLrPvhPF dPLAnPL| isPF yPAvhPF ihPFAkPP, aArPoPF ainPLkPP EkPPCUFrP
sPFAiTP mPFAnFUXP EjPL¸PPAsPFA kPPirP ePisPFiCPF iyP - gPOENPtPO EkPP
wvPO«PFAEHPtPO (invent)@
hPFibPLECPFlP, nPLAEkPP mPFAnFUXP ikPPHPlP sPFMKPzAgOUilPA aAEHPúPOArP
kPPirPECPFlP (discovered)@?
gPOENPitPOrP wvPOnÔPEtPO EkPP mPFAnFUiXPrP EcPFÙPOADPFArPA iTPikPP
ãO÷PADPFQnPL hPFibPLvhPF cPFilPiCPF? ePrP wvPOÀoP`LrP
hPFbPLitPOA ikPPAinPLAEdPLnPLvhPF sPFÈOFpOLZNPYBPOAiHP pPOLAoPFbPLA
yPAiHP nPLA| tPOiHP ikPPAnPL ePkPP EHPKPzAtPO mPFnPLQXPQ sFUÓOdPrP
BPOAiHP HPilPECPFilPnPL, tUOEmPF ePkPPjPLnPL dPLASPFYEnPLkPPikPP EjPL¸PPAsPFA
kPPrP iyP 'dPLSPFYnPL' EkPP? HPA ePkPPjPLnPL eýEtPOhPFAEsPFkPPikPP
'vhPFEtPOhPFAsPF' EkPP? ePHPM tUOEmPF idPLKPiHP iyP, ePrP wvPOÀoP`LrP
EdPLitPO tPOAidPLrP ikPPAinPLA asFUEHPDPFAvhPF hPFi©CPF nPLA| ePidPLrP
mPFiDPFz ikPPwvPOvhPF tPOArP EnPLijPLrP EHPXPbPL ePigPOAitPO pPOLArPiHP nPLA
yPEdPL isPF nPLA jPLAinPL EkPPisPFrP sPFÓ÷PìAinPL isPF
GFUrPiCPF| ePHPArP isPFvhPF ePkPPvhPF çpPOLSLÔP kPPrP ePkPPjPLnPL
gPOENPtPOEHPdPLikPP, 'gPOENPtPO' EkPP? isPF yPEdPL sPFEtPOzvhPF sPFð wvPOÀoP`LrP
idPLbPL tPOAhPFilP idPLKPiHP isPF HPlPiCPF ePvhPF çpPOLiSLÔPrP
wvPOÀoP`LrP isPF jPLAinPL nPLA, EkPPÙUO ePvhPF nPLA jPLAnPLA
tPOAikPP gPOENPtPO EnPLibPL kPPAjPL kPPrPitPO HPADPFA EdPLi©CPF nPLA|
ePrP iTPikPP HPwxPF kPPTPA aArP EkPP hPFitPO pPOLAirP? aAEmPF hPFbPLitPOA
aÌPO tPOtPO BPOAilPA jPLAEnPL nPLA, EkPPÙUO tPOAitPOoPF ePvhPF
çpPOLHPÓ÷Pì ilPKPA itPOA aAWvPFkPPAi©CPF
nPLA!
ePWvPFAitPOA aAmPFrPA sPFHPAvhPF jPLAEnPL iyP, lP¾PPz CPFAwxPFA mPFAnFUXP HPÿAcPFitPO pPOLAirP nPLA| anPLÙPO tPOArP EjPL¸PPAsPFA aArP anPLÙPO tPOArP wvPOðsPFAhPF| isPFvhPF kPPiHP aAmPFrPA cPFilPECPF çpPOLiSLÔPrP wvPOÀoP`LrP KLUÿjPLitPO KLUÿjPLitPO| aAigPO mPFAnFUXP çpPOLkFÖOEtPOikPP ISL÷PrP HPilP FpOLZjPLA kPPirPiCPF, tPOArPpPOLrP yPtPOEdPLnPL igPOiCPF çpPOLkFÖOEtPOrP iKPbPLAElPpPOLnPLArP wvPOÀoP`LrP KLUÿjPLitPO aAmPFrPA EnPLibPLAEjPLtPO hPFibPLECPF| çpPOLkFÖOEtPO EkPP sPFtPOzvhPF ikPPAnPL sFZÀeOL` imPFinPL cPFilP? isPFvhPF çpPOLAcPFQnPLkPPAlP iTPikPP aAjPLikPPrP Theory of Everything@ pPOLyPYÙPO aAmPFrPA isPFvhPF cPFrPmPF sPFitPOzrP sPFÓ÷PìAinPL HPzFpOLÖtPO| aArP isPFvhPF sPFÓ÷PìAinPL aAmPFAidPLrP hPFAEtPObPLArP hPFlP gPOENPtPO| KPAtPOArP wvPOpPOLrP iCPFAWvPF iCPFAWvPF aÿAkPPAaÿAEkPP HPilP idPLbPL aAmPFAidPLrP pPOLdPLAiTPYrP cPFrPmPF kPPAVPFAimPFA, çLgPFhPFtPOArPAidPLrP gPOEtPOpPOLTP, ePmPFnPL EkPP aAmPFAidPLrP idPLihPFrP gPOVPFnPLoPF| ePgOUilPA sPFHPvhPF GPLWvPFnPLA aArP tPOArP kPPArPNP hPFitPO pPOLAirP, EkPPÙUO HPzAKPzA nPLbPL| ikPPnPL imPFinPL cPFlPiHP çLgPFhPF-tPOArPA, aNU-pPOLrPmPFANU aAmPFAidPLrP çLgPFETPtPO sFZÀeOL`? ikPPnPL FpOLÖETPHPQ nPLAcPFiHP gPOENPitPOrP sPFAiTP tPOAlP EdPLibPL? ePgOUilPA EkPP ikPPHPlPvhPF GPLWvPFnPLArP sPFmPFAnFUpPOLAtPO, nPLAEkPP ikPPAnPL igPOApPOLnPL iyPAgPO sPFtPOzvhPF aAiCPF ePidPLrP mPFiDPFz? HPAéPFiHPrP ePkPPWvPFA aBPOzAsPFvhPF hPFlP mPFAnFUiXPrP kPPÜPnPLArP sPFAiTP pPOLA`ÂlPA idPLoPFbPLA - aAmPFrPA iyP pPOLErPkPPÜPnPLA kPPirPECPF tPOArP iTPikPP EHPcUFztPO hPFoPFbPLA| EkPPÙUO ePkPPmPFAÀeOL` gPOENPtPOvhPF mPFinPL hPFbPL isPFvhPF EnPLbPLimPFrP EHPãPFÉPbPLkPPrP HPzEtPOÀePÝmPF yPA EkPPnPLA EnPLbPLmPFWvPFAikPPvhPF çpPOLmPFANP kPPirP| gPOENPitPOrP sFZÀeOL` imPFinPLvhPF cPFArPiSPFA HPCPFrP pPOLrP DFZmPFikPPtUO aAHPArP idPLKPA yPAbPL tPOArP EcPFEþPFtPO jPLAbPLgPOAbPL| tPOAhPFilP EnPLbPLmPFWvPFA EkPP?? ePvhPFsPFHP iBPOiHPvhPF EkPP aAmPFrPA aAjPLoPF ePvhPF çpPOLHPAdPLHPAkPPzWvPFA HPzHPhPFArP kPPErP - Mathematics is the finest language in the world?
FpOLÖETPHPQrP sPFHPicPFibPL çpPOLAcPFQnPL sPFMKPzA-pPOLAgPOlP igPOAîPOQrP iKPAÿjPL pPOLAoPFbPLA yPAbPL çLgPFQisPF LçLKPQß FpOLZß XPîPO oPF pPOLÏPOmPF SPFtPOA¡PQitPO| aAmPFrPA aADFUEnPLkPP yUigPO kPPEÈOLpPOLwvPOWvPFAirPrP sPFAmPFinPL HPisPFoPF mPFAiJPF mPFAiJPF sPFMKPzArP aAcPFrPiNP GPLAHPiwxPF yPAvhPF, tPOA isPFvhPF çpPOLAcPFQnPLkPPAilP ilPAikPPrPA sPFMKPzA EnPLibPL aAEdPLiKPztPOA kPPrPiHP ePitPO aArP aAåcPFyPY EkPP? çLgPFQisPFrP eý çpPOLAcPFQnPL igPOAîPOQikPP HPlPA hPFtPO EpPOLTPAigPOAErPbPLAnPL| ePrPA sPFMKPzAidPLrP HPzHPhPFAirP ePtPOvhPF cPFmPFðkFÖOtPO ECPFlP iyP jPLQHPinPLrP sPFHP EkPPCUFvhPF ePrPA sPFMKPzAªPArPA cPFAElPtPO HPilP mPFinPL kPPrPitPO SFUrPq kPPirP| ePidPLrP EHPSL÷PAsPF ECPFlP çpPOLitPOzkPP HPéUFvhPF aAdPLitPO sPFMKPzA ePHPM ePvhPF sPFHP sPFMKPzAvhPF hPFlP HPAéPFiHPrP mFZlP EBPOEÀoP`L| sPFmPFéPF EjPLEnPLsPFvhPF nPLAEkPP sPFMKPzArP sPFAhPFAiyPz EHPi`ÂLSPFXPNP kPPrPA yPAiHP, EkPPÙUO sPFMKPzAikPP aArP anPLz EkPPCUF EdPLibPL EHPi`ÂLSPFXPNP kPPrPA yPAiHP nPLA| eP isPFvhPF ainPLkPPWvPFA BPOgPOHPAnPL EHPSL÷PAisPFrP mPFtPO HPzApPOLArP| sPFHP EkPPCUFvhPF BPOgPOHPAinPLrP sFÖEêPL - tPOAhPFilP BPOgPOHPAinPLrP sFÖEêPLkPPtPOYA ikPP?? ePidPLrP EHPSL÷PAsPF mPFtPO ikPPHPlPmPFAÀeOL` ikPPAnPL EHPiSPFXP HPéUF iyP gPOENPitPOrP sFZÀeOL` imPFinPL cPFilP tPOA nPLbPL - sPFmPFçLgPF jPLgPOtPO, tPOAitPO çpPOLitPOzkPP HPéUFvhPF sPFMKPzArP ªPArPA cPFAElPtPO| eP pPOLyPYÙPO EVPFkPP ECPFlP, EkPPÙUO ePrPpPOLrP ePrPA 'nPLzAbPLEHPcPFArP', 'sFUiyPAgPO' - ePvhPFsPFHP abstract@ EjPLEnPLsPFoPF sPFMKPzA EdPLibPL HPzAKPzA sFUrPq kPPirP| ePrPpPOLrP HPlPA HPAhUFlPz ePidPLrP EpPOLTPAigPOArPAsPF ¦AtÖOsPFMGPL iHPESPFdLZrP ePigPOAbPL EnPL| yPEdPL sPFtPOzvhPF sPFHPEkPPCUF sPFMKPzA ªPArPA gPOEVPFtPO hPFbPL, tPOAhPFilP HPAéPFiHPrP sPFEVPFkPP çpPOLkFÖOEtPO iHPAJPFArP jPLnPLz aAmPFAidPLrP dPLrPkPPArP hPFiHP sPFMKPzAidPLrP cPFcPFYA, tPOAidPLrP DPFmPFY, tPOAidPLrP pPOLArPãPOpPOLErPkPP sPFÈOLpPOLkPPY vhPFtPOzAEdPL| ePgOUilPA hPFitPOvhPF pPOLAirP aAmPFAidPLrP ûidPLnPLEÓOdPnPL kPPAijPLrP sPFAiTP sPFÈOLpPOLkPPY-EHPHPEjPLYtPO, yPAikPP aAjPLkPPAlP Pure Mathematics@ HPlPA hPFbPL| tPOiHP EpPOLTPAigPOArPAsPF sPFMiGPLrP mFZlP dLUHPYlPtPOA ECPFlP sPFMKPzAidPLrP jPLQEHPtPO HPéUFrP mPFtPO EHPcPFArP kPPrPA|
ePpPOLrP aAisPF Platonism@ - iyP mPFtPOHPAidPLrP çpPOLHPÀoPLÝA ECPFilPnPL iÂpPFiWvPFA (Plato@)| ePrP mFZlP EBPOEÀoP`L ECPFlP tPOÿArP EHPSL÷PAsPF iyP, aAmPFrPA gPOENPitPOrP tPOÀoFüOL aArP sPFtPOztPOA ikPPHPlP KLUÿijPL HPArP kPPErP mPFAÀeOL`| sPFMKPzArPA aAmPFAidPLrP aAEHPúPOArP nPLbPL - tPOArPA aAigPO iTPikPPvhPF HPtPOYmPFAnPL, isPFvhPF ikPPAnPL ªPQpPOL aAEHPúPOAirPrP mPFtPO| ePvhPFsPFHP idPLiKP SFUinPLoPF mPFinPL hPFbPL cPFAlPYsPF wPOArPEwvPOnPL mPFÙPOHPz kPPirPECPFilPnPL, gPOENPtPO¸PP ePkPPjPLnPL aÓ÷Pì HPzEÀoPLÝ mPFAÀeOL` - iyP aÓ÷PìkPPArP GPLirP ePkPPWvPFA aEéPFÀoFüOLEHPhPFQnPL kPPAilPA EHPwxPFAlP KLUÿijPL iHPwxPFAi©CPF|
tPOAhPFilP sPFMKPzAidPLrP ePmPFnPL EkPP ûiHPESPFêPLz
iyP çpPOLAcPFQnPLkPPAlP iTPikPP mPFAnFUXP tPOArP wvPOpPOLrP ePtPO aAkPPXPYNP
iHPADPF kPPirP aAsPFiCPF? EkPPCUF nPLmFUnPLA idPLoPFbPLA yPAkPP EHPi`ÂLSPFXPNP
kPPirP|
aAsFUnPL ePkPPWvPFA sPFMKPzAi`çLSPFNPQ ElPiKP ifPOElP,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ....
icPFnPLA icPFnPLA lPAgPOiCPF EkPP? ePvhPF
i`çLSPFNPQEWvPFikPP HPlPA hPFbPL Fibonacci’s
series| ElPoPFnPLAidPLAY EfPOiHPAnPLAEcPF ePvhPF i`çLSPFNPQEWvPF
çpPOLTPmPF aAEHPúPOArP kPPirPnPL| ePvhPF i`çLSPFNPQrP
ePkPPWvPFA sPFMKPzA pPOLAoPFbPLA yPAbPL tPOArP EVPFkPP aAigPOrP dLUEWvPFikPP
iyPAgPO kPPirP| iyPmPFnPL, 1
+ 1 = 2, 1 + 2 = 3, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, vhPFtPOzAEdPL|
idPLKPitPO ePmPFEnPLitPO sPFAdPLAmPFAWvPFA, EkPPÙUO mPFjPLA hPFi©CPF
ikPPAnPL sPFMKPzAikPP tPOArP aAigPOrPWvPFA EdPLibPL BPOAgPO kPPrPilP pPOLAoPFbPLA
yPAiHP:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sPFMKPzAidPLrP mPFAnPL yPtPO
HPwxPF hPFiHP, anFUpPOLAtPO tPOtPOvhPF ePEgPOibPL yPAiHP ePkPPWvPFA EnPLEdPLYêPL
mPFAinPL - iyPWvPFA hPFlP 1.618@|
ePvhPF sPFMKPzWvPFAikPP HPlPA hPFbPL Golden
Ratio@ (ãO÷PNPY anFUpPOLAtPO)| ePvhPF sPFMKPzA aAmPFAidPLrP
jPLQHPinPL ePHPM cPFArPpPOLAiSPFrP EjPLEnPLisPFrP sPFAiTP ePmPFnPL BPOAiHP
jPLEwxPFibPL aAiCPF iyP, ePWvPFAikPP mPFinPL kPPrPA hPFbPL BPOgPOHPAinPLrP
sFÖEêPL| gPOAENPEtPOkPP wvPOpPOLAibPL pPOLAoPFbPLA iyPitPO pPOLAirP
ePkPPWvPFA sPFrPlPirPKPAikPP BPOAgPO kPPirP| ePkPPWvPFA sPFrPlP irPKPAikPP
HPwxPF aArP iCPFAWvPFBPOAigPO BPOAgPO kPPrPA hPFlP| BPOAgPOWvPFA ePmPFnPL
BPOAiHP hPFoPFbPLA cPFAvhPF iyPnPL iCPFAWvPF BPOAigPOrP sPFAiTP HPwxPF sPFAiTP
HPwxPF BPOAigPOrP anFUpPOLAtPO, HPwxPF BPOAigPOrP sPFAiTP sPFÈOFpOLZNPY
sPFrPlPirPKPArP BPOAigPOrP anFUpPOLAitPOrP sPFmPFAnPL hPFbPL| 
aTPYAð,
x/1
= 1/(1+x)|
1.618@ sPFMKPzAWvPFArP mPFjPLA hPFi©CPF ePWvPFA EdPLibPL 1-ikPP BPOAgPO kPPrPilP pPOLAoPFbPLA yPAbPL 0.618!
çpPOLAcPFQnPL çLgPFQisPF
ePvhPF sPFMKPzArP aAkPPXPYNP ePtPOvhPF ECPFlP iyP ëPOpPOLEtPOrPA ePWvPFA
tPOAidPLrP kPPAijPL HPzHPhPFArP kPPrPitPO SFUrPq kPPirPnPL| sPFHPicPFibPL
HPwxPF wvPOdPLAhPFrPNP hPFlP pPOLAiTPYnPLnPL| aAmPFrPA sPFHPAvhPF ePrP 
DOHPMsPFAHPiSPFiXPrP
CPFEHP idPLiKPECPF| ePKPnPL yPEdPL ePkPPWvPFA kPPEÜPtPO aAbPLtPOi¾PPÀeOL`
aÿAkPPA hPFbPL ePrP sPFHPicPFibPL HPÿA EdPLikPPrP TPAmPF HPA pillar@
iTPikPP wPOAnPLEdPLikPPrP TPAmPF ePHPM nPLQcPF iTPikPP cZFwxPFA pPOLyPYÙPO,
tPOAhPFilP idPLKPHP isPFvhPF aAbPLtPOi¾PPiÀeOL`rP ûidPLGPLYz
oPF çpPOLiëPOrP anFUpPOLAtPO çpPOLAbPL 1.618| ePCPFAwxPFA
pPOLAiTPYnPLinPLrP ePkPPdPLmPF sPFAmPFinPL EkPPCUF aAbPLtPOi¾PPÀeOL`
idPLKPA yPAbPL yPAidPLrP ûidPLGPLYz-çpPOLiëPOrP anFUpPOLAtPOoPF
Golder Ratio-rP
kPPACPFAkPPAECPF|
SFUDFU ëPOApPOLtPOzESPFÜP nPLbPL
EcPFÀeOL`kPPlPAitPOoPF ePvhPF anFUpPOLAitPOrP HPzHPhPFArP ainPLkPP|
ePmPFnPL iSPFAnPLA yPAbPL ElPoPFnPLAEdPLY dPLA EBPOEÏPO nPLAEkPP ePvhPF
'anFUpPOLAtPO' ePkPPAÙPOvhPF BPOAilPAHPAsPFitPOnPL| tPOArP çpPOLmPFANP
pPOLAoPFbPLA yPAbPL aHPSPFz isPFvhPF EHPKPzAtPO 'imPFAnPLAElPsPFA' CPFEHPitPO|
CPFEHPEWvPFrP ûidPLGPLYz oPF çpPOLiëPOrP 
anFUpPOLAtPO
1.618| tPOACPFAwxPFA yPEdPL ePkPPWvPFA aAbPLtPOi¾PPiÀeOL` aÿAkPPA
hPFbPL imPFAnPLAElPsPFArP EVPFkPP mFUKPmPFLÕPLilP tPOiHP tPOArP ûidPLGPLYz
oPF çpPOLiëPOrP anFUpPOLAtPO hPFiHP isPFvhPF Golden
Ratio@|
ePCPFAwxPFA ainPLkPP EHPKPztPO CPFEHPitPOoPF (iyPmPFnPL, lPAãOFWvPF
sPFApPOLArP, dPLz isPFvhPF×FWvPF) Golden
Ratio@-rP HPzHPhPFArP lP¾PPNPQbPL|
ePitPOA nPLA hPFbPL igPOlP mPFAnFUiXPrP ePvhPF anFUpPOLAtPO HPzHPhPFAirPrP kPPTPA| çpPOLkFÖOEtPOitPOoPF Golden Ratio@ ePtPO jPLAbPLgPOAitPO icPFAiKP pPOLiwxPF iyP, mPFAiJPFmPFAiJPF sPFEtPOzvhPF BPOAHPitPO vhPFi©CPF kPPirP BPOgPOHPAnPL ePkPPjPLnPL gPOENPtPO¸PP| Golden Ratio mPFinPL hPFbPL çpPOLkFÖOEtPOrP oPF BPOAilPAHPAsPFArP sPFMKPzA| aArP ePWvPFAoPF EVPFkPP iyP, iyP sPFmPFéPF aAkPPArP Golden Ratio@ imPFinPL cPFilP - isPFgOUElP iHPSPF nPLbPLnPLsFUKPkPPrP hPFbPL| ikPPnPL? aAEmPF jPLAEnPL nPLA - hPFbPLitPOA HPA ikPPwvPOvhPF nPLA|
SPFAmFUkPP,
SPFÿAKP idPLiKPiCPFnPL itPOA? SPFÿAiKPrP ipPOLÿcPFAinPLA aAkFÖOEtPOitPOA
iHPSPF idPLKPitPO lPAigPO| aAsFUnPL idPLEKP iyP,
Fibonacci series@ iTPikPP EkPP kPPirP ePmPFnPL aAkPPArP aAsPFitPO pPOLAirP|
çpPOLTPimPF ePkPPkPP ûidPLiGPLYrP ePkPPEWvPF HPgPOYi¾PPÀeOL`
aÿAkFUOnPL| tPOArPpPOLAiSPF aAirPkPPWvPFA| tPOAhPFilP pPOLASPFApPOLAESPF
dLUiWvPFA HPgPOY¾PPiÀeOL`rP imPFAWvPF ûidPLGPLYz hPFlP
dLUvhPF ePkPPkPP| aAHPArP dLUvhPF ePkPPkPP HPAhUF EHPESPFêPL ePkPPEWvPF
HPgPOYi¾PPÀeOL` aÿAkFUOnPL EVPFkPP oPFidPLrP wvPOpPOLrP|
tPOAhPFilP ePKPnPL ePkPPWvPFA nPLtUOnPL HPgPOY i¾PPiÀeOL` hPFlP
yPArP HPAhUFrP ûidPLGPLY hPFlP EtPOnPL ePkPPkPP| ePvhPFBPOAiHPvhPF ePÿikPP
yPAnPL| ePHPArP pPOLAiSPFrP CPFEHPrP mPFtPOnPL ikPPAnPLgOUElP pPOLrPãPOpPOLrP
iyPAgPO kPPrPqnPL| EkPP pPOLAi©CPFnPL? ePkPPWvPFA SPFÿAiKPrP aAdPLlP
nPLA?
aAmPFrPAitPOA pPOLAvhPFnPL gPOAiCPFrP fUOLlP idPLiKPECPF (Pine
cone)@, ikPPmPFnPL sPFHP 
cPFÀePÝAkPPAirP
sPFAjPLAinPLA TPAikPP| yPEdPL ePkPPWvPFA EHPiSPFXP cPFÀePÝ (spiral)@
DPFirP gOUNPitPO TPAikPPnPL, tPOAhPFilP idPLKPiHPnPL oPFrPA sPFMKPzAbPL 21,
34, 55 vhPFtPOzAEdPL| aAåcPFyPY nPLA? SFUDFU tPOAvhPF nPLA| yPEdPL
mPFACPF, fPOEwxPFM, kPP©CPFpPOL, pPOLAKPQ ePidPLrP cPFAErPEdPLikPP ePkPPWvPFA
aAbPLtPOi¾PPiÀeOL` aÿAikPPnPL, tPOAhPFilP ainPLkPPi¾PPiÀeOL`vhPF
idPLKPA yPAiHP ûidPLGPLYz oPF çpPOLiëPOrP anFUpPOLAtPO
1.618, aTPYAð jPLQHPjPLgPOitPOrP ainPLkPP çpPOLANPQrP aAkPPArPvhPF
Golden Ratio@ anFUyPAbPLQ!
mPFAnFUiXPrP ePkPP EçpPOLbPL sPFhPFcPFrP iGPLAwxPFA - tPOArP SPFrPQirP
itPOA Golden Ratio-rP
CPFwxPFACPFEwxPF|
anPLz ainPLkPP çpPOLANPQrP mPFtPO mPFAnFUiXPrP
idPLihPFoPF Golden Ratio-rP
CPFApPOL rPibPL igPOiCPF| pPOLAiSPFrP 
CPFEHP
iTPikPP iHPAJPFA yPAbPL aAmPFrPA kPPtPOKPAEnPL sPFMKPzArP ªPArPA cPFAElPtPO|
EkPPCUF EkPPCUF hPFElPwvPOiwPOrP tPOArPkPPAikPP (HPA tPOAidPLrP mFUiKPrP)
EHPiSPFXPNP kPPirP Perfect
Face@ HPlPA hPFibPL TPAikPP| isPFvhPF perfect
face-ePoPF ãO÷PNPY anFUpPOLAtPO| mFUKP lPÈ÷PA
oPF cPFoPFwxPFAitPO EHPãPFÉPbPLkPPrP BPOAiHP Golden
Ratio@ imPFinPL cPFilP|
kPPtPO wvPOdPLAhPFrPNP idPLHP? kPPtPO isPFAsPFAvhPFEWvPF
ûitPOrPQ hPFibPLiCPF yPArPA ePvhPF Golden
Ratio@-rP wvPOpPOLEëPOEtPO KLUÿijPL iHPwxPFAi©CPF aAmPFAidPLrP
cPFAErPEdPLikPP ePHPM aAmPFAidPLrP mPFiDPFz| yPÿArPA ePvhPF EHPXPibPL
jPLAnPLitPO vhPF©CUFkPP tPOÿArPA ikPPHPlP Google.com@-eP
EgPOibPL Golden Ratio@
ePvhPF kPPTPAWvPFA WvPFAvhPFpPOL kPPirP idPLKPiHPnPL| tPOiTPzrP iVPFlPAbPL
aëPOrP hPFibPL wvPOVPFiHPnPL| tPOiHP aAÙPOErPkPP pPOLrPAmPFSPFY
idPLHP iyP, iHPSPFQ GPLÿAWvPFAGPLÿAEWvPF kPPrPiHPnPL nPLA - BPOgPOHPAinPL
EHPSL÷PAsPFQ nPLA hPFilP ePrPpPOLrP iTPikPP EHPSL÷PAsPFQ hPFitPO
SFUrPq kPPrPiHPnPL| aAmPFAidPLrP cPFArPpPOLASPF EVPFkPP ECPFlP, EkPPÙUO
aAmPFAidPLrP EnPLibPL WvPFAnPLAWvPFAEnPL kPPirP tPOÿArPA EkPP HPArP kPPirPiCPFnPL
tPOArP EkPPCUF 
wvPOdPLAhPFrPNP
idPLHPArP ilPABPO sPFAmPFlPAitPO pPOLArPlPAmPF nPLA| aAmPFAidPLrP kPPAnPL
iWvPFinPL idPLKPAinPLA hPFibPLiCPF kPPAinPLrP ãPOpPOLAvhPFirPlPWvPFA
Fibonacci series@ iTPikPP pPOLAoPFbPLA|
DNA@-ePrP çpPOLëPOi©CPFdPL kPPirPiCPFnPL - tPOAitPO
nPLAEkPP Golden Ratio@-rP
wvPOpPOLEëPOEtPO çpPOLkPPWvPF! tPOiHP hÖFdPLibPLrP DPFA¹PïLAWvPFA
sPFAmPFlPAitPO pPOLAErP EnPL, isPFWvPFA hPFlP Heart
Beat@-ePrP EHPi`ÂLSPFXPNP| ePitPOoPF Golden
Ratio| ePÿrPA HPinPL jPLËPilP tPOCPFnPLcPF kPPirP Golden
Ratio@-rP çpPOLibPLAgPO KLUÿjPLiCPFnPL| hPFAitPOrP kPPAiCPF
sFZyPYmFUKPQrP spiralling
gOUiNP gOUiNP idPLEKPibPLiCPFnPL tPOAitPO hPFbPL 34 nPLbPL 55WvPFA
spiralaAiCPF| HPAEkPP
EkPPCUF wvPOdPLAhPFrPNP,
3@ pPOLApPOLEwxPF-yUÀoPLÝ: ElPElP, aAvhPFErPsPF
5@ pPOLApPOLEwxPF-yUÀoPLÝ: HPAWvPFArPkPPApPOL, oPFbPLAvhPFÃOOwOP irPAjPL, lPAkPPYãPOpPOLArP
8@ pPOLApPOLEwxPF-yUÀoPLÝ:iwPOlP²EfPOErPbPLAmPFsPF
13@ pPOLApPOLEwxPF-yUÀoPLÝ: kPPnPLY imPFErPigPOAÃOOwOP, EsPFinPLrPAErPbPLA, irPAgPOoPFbPLAWvPFY
21@ pPOLApPOLEwxPF-yUÀoPLÝ:`ÂFHPzAkPP-aAvhPFwPO sFUjPLAnPL, azAiãOFWvPFrP
34@ pPOLApPOLEwxPF-yUÀoPLÝ: ÂpPFzAi×FWvPFvhPFnPL, pPOLAvhPFirPLçLTPAmPF
ePidPLrP iHPESPFrP BPOAgPOvhPF aAEmPF icPFAiKP idPLEKP EnPL, aApPOLEnPLoPF nPLA idPLKPilP GPLAHPwxPFHPArP EkPPCUF inPLvhPF, tPOiHP ePrPA sPFEtPOzvhPF aAiCPF| CPFEHP idPLKPitPO cPFAvhPFilP cPFilP yPAnPL: http:/www.math.smith.edu/~phyllo/Gallery/Pages/Frameset.htm
sPFMKPzA EnPLibPL aAilPAcPFnPLA ainPLkPP hPFlP| ePHPArP ePkPPWvUF mFUKP ifPOrPAinPLA yPAkPP gPOENPtPOEHPdPL²idPLrP EdPLikPP| ePvhPF ãO÷PÜP pPOLErPsPFirP kPPArPoPF jPLQHPnPLQ HPNPYnPLA kPPrPA yPAiHP nPLA aArP isPFWvPFArP vhPF©CPFAoPF aAmPFArP inPLvhPF| tPOAvhPF aAsFUnPL EkPPCUF gPOAlPgPOÜP kPPirP sPFmPFbPL kPPAWvPFAinPLA yPAkPP| ePvhPF vhPF×FWvPFArPinPLWvPF çpPOLsPFAirPrP sPFiËP sPFiËP mPFAnFUiXPrP ePkPPWvPFA çpPOLHPNPtPOA cPFilP ePisPFiCPF iBPOAWvPFABUOEWvPF kPPrPArP| kPPmPF sPFmPFibPL iHPSPFQ ilPAikPPrP kPPAiCPF ipPOL´ÿCPFHPArP kFUOfPOlP aArP EkPP! sPFHP EHPXPbPLivhPF iBPOAWvPF - SPFtPOA¡PQrP isPFrPA aEBPOinPLtPOA, isPFrPA iKPilPAbPLAwxPF, isPFrPA mPFnPLQXPQ, isPFrPA sPFHP EkPPCUF iHPiCPF inPLHPArP çpPOLEtPOiyPAEgPOtPOA| tPOAvhPF isPFrPA gPOENPtPO¸PPrP EHPXPbPLWvPFAvhPF HPA HPAdPL TPAikPP ikPPnPL? EkPPCUF kPPAlP aAigPO nPLAEkPP ePvhPF rPkPPmPF ePkPPWvPFA iBPOAWvPFABUOEWvPF hPFibPLECPFlP sPFHPYkPPAilPrP isPFrPA EtPOnPL gPOENPtPOEHPdPL² iHPiCPF inPLHPArP jPLnPLz| ePkPPjPLnPL HPACPFAWvPFA iHPSPF EHPtPOEkPPYtPO hPFibPL iyPtPO HPilPvhPF mPFinPL hPFbPL ePvhPF EtPOnPLjPLnPL iHPiCPF inPLoPFbPLA| anFUmPFAnPL kPPrPitPO pPOLAirPnPL ePvhPF EtPOnPLjPLnPL kPPArPA hPFitPO pPOLAirPnPL? sPFHPicPFibPL aAåcPFyPY hPFlP ePvhPF EnPLibPL iHPSPFQ ûihPFûicPF hPFbPL EnPL - mPFAinPL EsPFªPìAÙPOWvPFA sPFHPYsPFÈOLÉPtPOvhPF HPlPitPO pPOLAirPnPL aArP EkPP! çpPOLTPmPF dLUjPLinPLrP nPLAmPF anFUmPFAnPL kPPrPA KLUHP ePkPPWvPFA kPPEVPFnPL nPLbPL| çpPOLTPmPFjPLnPL aAEkPPYEmPFEwPOsPF (287 LçLKPQß FpOLZß - 212 LçLKPQß FpOLZß), EªPtPOQbPLjPLnPL EnPLwvPOWvPFnPL (1642 - 1727) aArP tÖOtPOQbPLjPLnPL hPFilPnPL gPOAwvPOsPF HPA gPOsPF (1777-1855)| çpPOLTPmPF dLUjPLnPLikPP aAmPFrPA çpPOLAbPL sPFHPAvhPF iCPFilPiHPlPA iTPikPP nPLAwxPFAcPFAwxPFA kPPirP aAsPFECPF| ePkPPdPLmPF iCPFAWvPFiHPlPAbPL tPOAidPLrP gPOÜP aArP pPOLirP tPOAidPLrP aAEHPúÖOtPO sFZÀeOL` EnPLibPL aAmPFrPA EkPPCUF nPLA EkPPCUF mPFATPA GPLAEmPFibPLECPFlPAmPF| tÖOtPOQbPLjPLnPL hPFbPLtPO itPOmPFnPL pPOLErPEcPFtPO nPLnPL aApPOLmPFrP jPLnPLsPFADPFrPiNPrP kPPAiCPF| aAEkPPYEmPFEwPOsPF aArP EnPLwvPOWvPFnPL EnPLibPL nPLtUOnPL kPPirP HPlPHPArP mPFtPO gPOÜP aAmPFArP kPPAiCPF inPLvhPF| tPOAvhPF gPOsPFikPP EnPLibPLvhPF ePkPPWvUF sPFmPFbPL kPPAWvPFAinPLA yPAkPP| oPF hPFÿzA, SFUDFU ePkPPWvPFA kPPTPA - HPvhPFpPOLÀeOL` pPOLiwxPF yPA jPLAnPLA igPOiCPF tPOAitPO ePvhPF çpPOLmPFAENPtPO hPFbPL aAmPFAidPLrP mPFinPLrP EBPOtPOrP aÿAkPPA gPOENPtPOEHPidPLrP CPFEHPWvPFA EnPLwvPOWvPFinPLrP sPFAiTP EVPFkPP KPApPOL KPAbPL nPLA| EnPLwvPOWvPFnPL aApPOLnPLiBPOAlPA ECPFilPnPL nPLA, ECPFilPnPL nPLA aigPOACPFAilPA| HPrPM EtPOEnPL ECPFilPnPL ePrP EVPFkPP wvPOiÃFWvPFA| EnPLijPLrP kPPAjPL sPFÈOLpPOLikPPY ainPLkPP sPFicPFtPOnPL ECPFilPnPL EtPOEnPL| aArP tPOÿArP igPOACPFAilPA ãO÷PBPOAiHPrP jPLnPLz aAiKPirP aAmPFAidPLrP lPABPOvhPF hPFibPLiCPF!
kPPAlPY i`çFfPOLwPOAErPkPP gPOsPF jPLÓOLÉPçLgPFhPFNP
kPPirPnPL 1777 sPFAilP ePkPP dPLErPædP pPOLErPHPAirP| ePkPP kPPTPA çpPOLAbPLSPFvhPF
HPlPA hPFibPL TPAikPP iyP yPÿArPA pPOLrPHPtPOYQ jPLQHPinPL asPFADPFArPNP
hPFiHPnPL tPOÿArPA nPLAEkPP iCPFAWvPFiHPlPA iTPikPPvhPF tPOArP EnPLdPLSPFYnPL
EdPLitPO SFUrPq kPPirPnPL| gPOsPFoPF ePrP HPzEtPOÀePÝmPF nPLbPL|
EtPOEnPL nPLAEkPP mPFAÀeOL` EtPOnPL HPCPFrP HPbPLisPFvhPF HPAHPArP
EhPFisPFiHPrP BUOlP DPFirPECPFilPnPL| tPOiHP sPFHPicPFibPL mPFjPLArP gPOÜPWvPFA
hPFlP gPOisPFrP yPKPnPL CPFbPL-sPFAtPO HPCPFrP HPbPLsPF tPOKPnPL ãFFkFUOilPrP
`ÂFkPPAisPF KLUHP HPdPLmPFAvhPFESPF kPPrPECPFilPnPL| mPFAãOFWvPFArPmPFSPFAvhPF
EHPrPÀoPLÝ hPFibPL HPilPnPL sPFHP iCPFilP 1 iTPikPP 100 pPOLyPYÙPO
iyPAgPOfPOlP HPArP kPPrPArP pPOLrP tPOArPpPOLrP iCPFilPrPA KPlPtPOitPO iyPitPO
pPOLArPiHP| EtPOEnPL EnPLEåcPFtPO ECPFilPnPL iyP ePvhPF kPPEVPFnPL aÌPO
eý HPA©LcPFAidPLrP ainPLkPP¾PPNP HPzéPF rPAKPiHP|
tPOÿAikPP aHPAkPP kPPirP EdPLibPL gPOsPFikPP KPAEnPLkPP pPOLirPvhPF mPFAiVPF
iKPlPA kPPrPitPO idPLKPA yPAbPL| mPFAãOFWvPFAmPFSPFAvhPF jPLAnPLitPO
cPFAnPL gPOsPF² iyPAgPO kPPirPECPFilPnPL EkPPnPLA?
ædPqtPO jPLHPAHP aAisPF gPOisPFrP kPPACPF iTPikPP iyPAgPOfPOlP hPFlP
5050| EHPEãPFÉPtPO
hPFibPL tPOKPnPL mPFAãOFWvPFArPmPFSPFAvhPF jPLAnPLitPO cPFAnPL ePtPO
tPOAwxPFAtPOAEwxPF gPOsPF² ePWvPFA kPPrPilPnPL EkPP BPOAiHP| gPOsPF nPLAEkPP
ePWvPFA KLUHPvhPF isPFAjPLA iBPOiHPECPFilPnPL| iyPAgPO kPPirPECPFilPnPL ePvhPFBPOAiHP:
çpPOLTPmPF ePkPPEWvPF lPAvhPFnPL 0
iTPikPP 100 pPOLyPYÙPO
ElPiKP, tPOArPpPOLirP EVPFkPP tPOlPAbPL 100
iTPikPP 0 pPOLyPYÙPO
ElPiKPECPFilPnPL|
ePKPnPL çpPOLEtPOEWvPF kPPlPAimPFrP (column)@iyPAgPOfPOlP hPFi©CPF 100| tPOAhPFilP 101 EWvPF imPFAWvPF 101X100, aArP çpPOLEtPOEWvPF kPPlPAmPF FpOLUnPLrPAHÖÀoP`L hPFibPLiCPF| atPOePHP 2 EdPLibPL BPOAgPO| ePvhPF BPOAiHP imPFAWvPF iyPAgPOfPOlP (101X100)/2 = 5050, KLUHP sPFhPFjPL!
rPhPFsPFzmPFbPL aAcPFrPiNP EkPPÙUO gPOsPF² gPOENPtPO¸PP hPFHPArP sPFHP SPFtPOYvhPF FpOLZNPY kPPirPECPFilPnPL| tPOÿArP mFÖtUOzrP 43 HPCPFrP pPOLrP ePkPPEWvPF wPOAbPLrPQ wvPOªPìArP kPPrPA hPFbPL tPOÿArP nPLAEtPOrP kPPACPF iTPikPP| ePvhPF wPOAbPLrPQitPO 146 WvPFA sPFME¾PPâPL HPÀoPLÝHPz ilPKPA ECPFlP iyPgOUElP gPOsPF² jPLQEHPtPO aHPëPOAbPL ikPPAnPL EdPLnPL çpPOLkPPASPF kPPirPnPL EnPL| pPOLirP idPLKPA igPOiCPF EHPMSPF SPFtPOA¡PQrP aAEHPúÖOtPO ainPLkPP HPwxPF HPwxPF gPOAENPEtPOkPP tPOÀoFüOLvhPF nPLAEkPP ePvhPF wPOAbPLrPQrP sPFAiTP ikPPAnPL nPLA ikPPAnPL BPOAiHP yUÀoPLÝ| wPOAbPLrPQ çpPOLkPPASPF nPLA kPPirP tPOiHP EkPP gPOENPitPOrP açLgPFgPOEtPO kPPibPLkPPHPCPFrP EpPOLECPFibPL EdPLibPLECPFilPnPL gPOsPF²? tPOÿArP EHPéÖFtPO aHPdPLAnPL ilPKPA sPFÆPFHP nPLbPL ePKPAinPL, hPFbPLtPO aArPoPF ainPLkPP HPCPFrP lPAgPOiHP gPOsPF²ikPP pPOLErPFpOLZNPY BPOAiHP jPLAnPLitPO| sPFHP iBPOiHPvhPF idPLiKPvhPF iHPADPFhPFbPL ePvhPF çpPOLEtPOBPOAHPAnPLikPP Prince of Mathematician@ HPlPA hPFibPL TPAikPP| gPOENPitPOrP anPLz SPFAKPArP mPFtPO sPFMKPzAtPOiÀoFüOLoPF gPOsPF-ePrP aHPdPLAnPL aEHPãPFÉPrPNPQbPL|
Copyright © 2007 Abasar.net. All rights reserved.
