ধাঁধা
ও মজার খেলা
ফাঁসির
দিন (উত্তর)
আসামীর
উকিল যে-যুক্তি ব্যবহার করেছেন - আপাত দৃষ্টিতে তার কোনো
খুঁত নজরে পড়ে না। তবে এটুকু বুঝতে অসুবিধা হয় না যে,
উকিলের যুক্তির উপর নির্ভর করলে তার ফলটা কি দাঁড়াবে!
আসামী নিশ্চিন্ত মনে বসে থাকবেন; কারণ যুক্তি অনুসারে
আগামী সপ্তাহে তাঁর ফাঁসি হওয়া অসম্ভব। এদিকে সপ্তাহ এলে
আচম্কাই একদিন তাঁর ফাঁসি হবে এবং বিচারকের রায় অক্ষরে
অক্ষরে পালিত হবে। উকিলের যুক্তিতে গোলমাল হচ্ছে এই যে,
উকিল ধরে নিচ্ছেন বিচারক এমন একটি দিন বাছবেন যেটি যুক্তি
অনুসারে আসামীর পক্ষে জানা অসম্ভব। অবশ্যই একভাবে বিচার
করলে সেই রকম কোনো দিন নেই। কিন্তু বিচারক এটুকু স্থির
করেছেন যে, সাত দিনের মধ্যেই আসামীর ফাঁসি হবে। সেক্ষেত্রে
সম্পূর্ণ অযৌক্তিক ভাবেই তিনি একটি দিন বাছবেন। ফলতঃ যুক্তি
অনুসারে আসামীর পক্ষে সেটা জানা অসম্ভব হবে।
এবার সমস্যাটাকে
একটু অন্যভাবেও ভাবা যেতে পারে। বিচারক ভবিষ্যত্বাণী করেছেন
যে, আসামী কোনোমতেই জানতে পারবেন না যে, কোনদিন তাঁর ফাঁসি
হবে। সেই ভবিষ্যত্বাণী সত্য হতে হবে এই ভিত্তিতে প্রমাণ
করা হয়েছে যে, ভবিষ্যত্বাণী মিথ্যা। যুক্তির প্রথমেই বলা
হয়েছে যে, সপ্তাহের শেষদিন কখনোই ফাঁসি হতে পারে না, কারণ
সেক্ষেত্রে আসামী নিশ্চিত বুঝবেন যে, রবিবারই ফাঁসি হতে
হবে। বিপরীতপক্ষে যদি ধরা হত যে, ভবিষ্যত্বাণী সত্য হবার
কোনো কারণ নেই, তাহলে রবিবারকে বাদ দেওয়া সম্ভব হত না,
এবং প্রমাণিত হত ভবিষ্যত্বাণী সত্য!
(বেশির ভাগ ধাঁধার
মতই এটি কে সৃষ্টি করেছেন আমরা জানি না। ১৯৪০ সাল থেকে
ধাঁধাটি গণিতজ্ঞ ও লজিশিয়ানদের দৃষ্টি আকর্ষণ করে। মার্টিন
গার্ডনার তাঁর একটি বই "দ্য আনক্সেপেক্টেড হ্যাঙ্গিং অzাণ্ড
আদার ম্যাথেমেটিক্যাল ডাইভার্সনস" বইটিতে এই সমস্যার বিশদ
আলোচনা করেছেন।)
সহজ
হিসাব? (উত্তর)
প্রশ্ন অনুসারে বাজার
করতে যাবার সময় তিন ভাইয়ের কাছে সমান পরিমান টাকা ছিল।
বাজারের শেষে ছোট ছেলের পকেটে ছিল ১৪ টাকা। সুতরাং সে
চাইলে ৫ টাকা দামের আরও দুটি জিনিস কিনতে পারতো এবং কিনেও
৪ টাকা তার পকেটে থাকত। মেজ ছেলে যদি আরেকটি জিনিস বেশি
কিনত, তাহলে তার ৩ টাকা অবশিষ্ট থাকত। সুতরাং আমাদের বার
করতে সবচেয়ে ছোট একটি সংখ্যা যাকে ৫,৪ ও ৩ দিয়ে ভাগ করলে
যথাক্রমে ৪, ৩ ও ১ অবশিষ্ট থাকে। সংখ্যাটি হবে ১৯। সুতরাং
মা ছেলেদের মোট ১৯ ষ৩, অর্থাত্ ৫৭ টাকা দিয়েছিলেন।
পৃথিবীর শেষ
দিন (উত্তর)
আমরা সবচেয়ে ছোট
থালাটিকে (অর্থাত্, যেটি রূপোর চৌকির সবচেয়ে উপরে ছিল)
বলব ১, তার ঠিক নিচেরটিকে বলব ২, তার নিচেরটিকে ৩, ইত্যাদি।
রূপোর চৌকিকে বলব ক; সোনার দুটি চৌকিকে বলব খ ও গ। ক-১-খ
দিয়ে বোঝাব ১-কে ক থেকে সরিয়ে খ-তে রাখা হয়েছে।
প্রথমে দেখা যাক
প্রথম দুটো থালাকে (১ ও ২) ক থেকে তুলে খ-তে রাখতে কতবার
থালা সরানো দরকার। উত্তর হবে তিনবার: (১) ক-১-গ, (২) ক-২-খ,
(৩) গ-১-খ।
এবার দেখা যাক ৩-কে সরিয়ে ১ আর ২-এর সঙ্গে রাখতে আরো কতবার
থালা সরাতে হবে। উত্তর হচ্ছে আরো চারবার: (১) ক-৩-গ, (২)
খ-১-ক, (৩) খ-২-গ, (৪) ক-১-ঘ।
অর্থাত্, প্রথম থেকে মোট সাতবার থালা সরালে তিনটে থালা
অন্য একটি চৌকিতে রাখা যাবে।
এভাবে দেখানো যাবে
যে, ৪-কে সরিয়ে অন্য তিনটি থালার সঙ্গে রাখতে আরো আটবার
থালা সরাতে হবে: (১) ক-৪-খ, (২) গ-১-খ, (৩) গ-২-ক, (৪)
খ-১-ক, (৫) গ-৩-খ, (৬) ক-১-গ, (৭) ক-২-খ, (৮) গ-১-খ।
অর্থাত্ চারটি থালাকে সরাতে হলে প্রথম থেকে মোট ৮ +@ ৭,
বা পনেরো বার থালা সরাতে হবে।
উপরের সংখ্যাগুলি
পরীক্ষা করলে দেখা যায় যে, ন-সংখ্যক থালা সরিয়ে অন্য একটি
চৌকিতে রাখতে মোট 
বার
থালা সরানোর প্রয়োজন। সুতরাং ৬৪ থালা সরাতে মোট 
বার
থালা সরাতে হবে। এটি হাতে হিসেব করতে অনেক সময় লাগবে,
কিন্তু সংখ্যাটি হল: ১৮৪৪৬৭৪৪০৭৩৭০৯৫৫১৬১৫। এক একটি থালা
সরাতে এক সেকেণ্ড ধরলে, এটি দাঁড়াবে ৫০ হাজার কোটি বছরেরও
বেশী। অর্থাত্ স্বর্গাদেশ সত্যি হলেও ভক্তদের দুশ্চিন্তার
কোনো কারণ নেই!
বয়সের
হিসাব (উত্তর)
ধরা যাক, বিজয় রায়
ক বছর বেঁচেছিলেন। সেক্ষেত্রে, প্রশ্নানুসারে তাঁর জন্মসাল
ছিল ২৯ক। অর্থাত্ তাঁর মৃত্যু সাল ছিল ২৯ক + ক, অথবা ৩০ক।
আমরা জানি ১৮৯৮ সালে বিজয় রায় বেঁচে ছিলেন এবং ১৯২২ সালের
আগে তাঁর মৃত্যু ঘটে। এখন আমরা জানি যে, ক একটি পূর্ণ
সংখ্যা, কারণ বিজয়বাবুর মৃত্যু হয়েছিল তাঁর জন্মদিনের
দিন। উপরের দুটি সালের মধ্যে সেই সালটিই মৃত্যুসাল হবে
- যেটিকে ৩০ দিয়ে ভাগ করা যায়। সেটি সম্ভব যদি সালটি হয়
১৯২০।
অতএব ৩০ক = ১৯২০
অর্থাত্ ক = ১৯২০/৩০ অর্থাত্ ৬৪।
বিজয় রায়ের ৬৪ বছর বয়সে মৃত্যু হয়।
লাল
কার্পেট(উত্তর)
জুয়ো খেলার
বিপদ (উত্তর)
ক্ষতি হল। কারণ লোকটি
জেতার সময় যে পরিমাণ টাকার ১/১০ ভাগ পাচ্ছে, হারার সময়
তার বেশী পরিমাণ টাকার ১/১০ ভাগ নষ্ট করছে। উদাহরণস্বরূপ
ধরা যাক, লোকটি প্রথমে ১০০ টাকা নিয়ে খেলা শুরু করেছিল।
তাহলে প্রথম খেলাতে জিতলে খেলার শেষে তার টাকার পরিমাণ
হত ১১০ টাকা। দ্বিতীয় খেলাতে হারলে, সেটা গিয়ে দাঁড়াতো
৯৯ টাকায়। অপরপক্ষে, সে যদি প্রথম খেলায় হারতো আর দ্বিতীয়
খেলায় জিততো, তাহলে তার টাকার পরিমাণ হত প্রথমে ৯০ টাকা,
এবং পরে ৯৯ টাকা। অর্থাত্ দুক্ষেত্রেই তার ক্ষতি হত ১
টাকা।
টিকটিকির
সমস্যা(উত্তর)
দেয়াল দুটিকে ঘুরিয়ে
মেঝের সমতলে আনা হল। ক-১ ও খ-১ পোকা ও টিকটিকির নতুন অবস্থান।
ক-১ ও খ-১-এর মধ্যে দূরত্ব পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী
,
অর্থাত্ ২৫ ফুট। সুতরাং, টিকিটিকিকে পোকা ধরতে ২৫ ফুট
যেতে হবে। টিকটিকির আসল পথ ছবিতে তীরচিþ দিয়ে দেখানো হয়েছে।
নাম-সংকট
(উত্তর)
নিচের ছকটিতে একদিকে
রয়েছে বন্ধìদের নাম, অন্যদিকে বন্ধìদের পদবী। ধরা যাক,
একটি তথ্য থেকে জানা যাচ্ছে যে, কোনো বিশেষ পদবী একজন
বন্ধìর হওয়া সম্ভব নয়, তাহলে আমরা সেই নাম ও পদবীর জন্য
নির্দিষ্ট যে ঘর - সেইখানে সেই তথ্যের নম্বরটি লিখবো।
উদাহরণস্বরূপ, আমরা ১ নম্বর তথ্য থেকে জানি যে, কমলবাবু
ও শ্রী সেন দুজনে স্টেট ব্যাঙ্কে কাজ করেন। সুতরাং ১ নম্বর
তথ্য অনুসারে কমলবাবুর পদবী সেন হতে পারে না। তাই কমল
ও সেনের জন্য নির্দিষ্ট ঘরে আমরা ১ লিখলাম।
পদবী\নাম |
কমল |
রবীন |
গৌরাঙ্গ |
বিকাশ |
শৈবাল |
অরুণ |
সেন |
১ |
৮ |
১-৪,
৮ |
- |
১-৩ |
* |
দত্ত |
১-৩ |
* |
৩-৪ |
- |
৩ |
- |
চৌধুরী |
- |
- |
* |
- |
- |
- |
নন্দী |
১-৪ |
৫-৬ |
৪ |
* |
৩-৪ |
৫-৬ |
দেব |
* |
- |
৭ |
- |
- |
- |
রায় |
২ |
৮ |
৮ |
- |
* |
- |
আবার ৩ নম্বর তথ্য
অনুসারে শৈবালবাবুর পদবী দত্ত হতে পারে না। তাই শৈবাল
ও দত্তের জন্য নির্দিষ্ট ঘরে ৩ লেখা হল। যেহেতু কমলবাবু
স্টেট ব্যাঙ্কের চাকুরে (১ নং তথ্য) আর শ্রী দত্ত কলেজে
পড়ান (৩ নং তথ্য), সেইজন্য কমল ও দত্তের ঘরে ১-৩ লেখা
হল। এই ভাবে ছকটিকে ভর্তি করা শেষ হলে দেখা যাবে যে, গৌরাঙ্গবাবুর
পক্ষেই একমাত্র চৌধুরী হওয়া সম্ভব। ছকে সেখানে একটি তারা
চিþ অাঁকা হয়েছে। এখন ছক থেকে বোঝা যাবে যে, গৌরাঙ্গবাবু
চৌধুরী হলে, কমলবাবুকে দেব হতে হবে। এইভাবে একে একে অন্য
সকলের পদবী বার করা যাবে।
ছয়বন্ধìর নাম হচ্ছে:
কমল দেব, অরুণ সেন, শৈবাল রায়, রবীন দত্ত, গৌরাঙ্গ চৌধুরী
ও বিকাশ নন্দী। কমল ও অরুণ স্টেট ব্যাঙ্কে কাজ করেন। শৈবাল
ও রবীন কলেজে পড়ান। গৌরাঙ্গ ও বিকাশ ইঞ্জিনিয়ার।
মিষ্টি
রাখার ট্রে (উত্তর)
ট্রে-টার আয়তন হবে
১৬ ষ ১২ ইঞ্চি।
নিচের ছবি অনুসারে মোট ৪৮ টি নাড়ু ধরবে।
কিন্তু নাড়ুগুলোকে
যদি নিচের ছবি অনুযায়ী সাজানো যেতো, তাহলে আরও বেশি নাড়ু
ট্রেতে রাখা যেতো।
নিচের ছবিতে অনুযায়ী
সেই একই ট্রেতে ৫০ টি নাড়ু ধরবে। এই ছবিতে প্রথম উলম্ব
সারিতে ৬টি নাড়ু আছে। তার বদলে যদি প্রথম উলম্ব সারিতে
৫টি ব্যবহার করা হত, তাহলে ৪৯টি নাড়ু ট্রেতে ধরত।
গোলমেলে
সংখ্যাশ্রেণী( উত্তর)
সংখ্যা-শ্রেণীর প্রথম
সংখ্যাটি হল ১। দ্বিতীয় সংখ্যাটি সৃষ্টি করা হয়েছে তার
আগের (অর্থাত্ প্রথম) সংখ্যাকে ভিত্তি করে। যেহেতু প্রথম
সংখ্যা হল 'একটা এক', সেইজন্য দ্বিতীয় সংখ্যা হবে ১১।
তৃতীয় সংখ্যাটি হবে দ্বিতীয় সংখ্যার উপর ভিত্তি করে। যেহেতু
দ্বিতীয় সংখ্যা হল 'দুটো এক', সেইজন্য তৃতীয় সংখ্যা হবে
২১। চতুর্থ সংখ্যা সৃষ্টি হবে, তৃতীয় সংখ্যাটি থেকে। তৃতীয়
সংখ্যায় আছে 'একটা দুই, একটা এক'। তাই সেটি হল ১২১১। এইভাবে
বিচার করলে ছয় নম্বর সংখ্যাটি হবে ৩১২২১১।
অধ্যাপিকা
সমস্যা(উত্তর):
কল্যাণী রায় বর্ধমান বিশ্ববিদ্যালয়ে পড়ান না, সুতরাং তিন
হয় যাদবপুর বা কলকাতা বিশ্ববিদ্যালয়ে পড়ান। খেয়ালী সেন
যাদবপুরের সঙ্গে যুক্ত নন, অতএব, তিনি হয় কলকাতা অথবা
বর্ধমান বিশ্ববিদ্যালয়ে পড়ান। খেয়ালী যখন যাদবপুরে পড়ান
না, তখন তিনি ইতিহাসও পড়ান না। সুতরাং হয় তিনি ইংরেজি
সাহিত্য অথবা পদার্থবিদ্যার অধ্যাপিকা। কিন্তু আমরা জানি
যে, তিনি পদার্থবিদ্যা পড়ান না, তারমানে তিনি ইংরেজি সাহিত্য
পড়ান। বর্ধমানের অধ্যাপক সাহিত্য সম্পর্কে কিছুই প্রায়
জানে না, অতএব খেয়ালী কলকাতা বিশ্ববিদ্যালয়ে পড়ান। খেয়ালী
কলকাতা বিশ্ববিদ্যালয়ের সঙ্গে যুক্ত হলে কল্যাণী রায়কে
যাদবপুরের অধ্যাপিকা হতে হয়। যাদবপুরের অধ্যাপিকা হওয়া
মানে তিনি ইতিহাস পড়ান। এখন বাকি রইলেন গীতা চৌধুরী। তিনি
নিশ্চয় বর্ধমান বিশ্ববিদ্যালয়ে পদার্থবিদ্যা পড়ান।
রহস্যময়
চিঠি(উত্তর)
যেহেতু (ক), (খ) ও (গ) - তিনটি তথ্যে বিভিন্ন নাম উল্লেখ
করা হয়েছে, অতএব সেগুলি কেবলমাত্র নির্দোষী ব্যক্তির বিবৃতি
থেকে পাওয়া যায় নি। সুতরাং তিনটি তথ্যের মধ্যে হয়, একটি
অথবা দুটি নির্দোষী ব্যক্তির বিবৃতি থেকে পাওয়া। প্রথমে
ধরা যাক, একটি মাত্র তথ্য নির্দোষী ব্যক্তির কাছ থেকে
পাওয়া গেছে। আমরা এখন প্রমাণ করব যে, সেটা হওয়া সম্ভব
নয়।
প্রমাণ: প্রশ্ন অনুসারে
নির্দোষী ব্যক্তির বিবৃতি থেকে পাওয়া তথ্যই একমাত্র সত্যি।
অতএব, তিনটি তথ্যের মধ্যে দুটি হতে হবে মিথ্যা। প্রথমে
ধরা যাক (গ) সত্যি, (ক) ও (খ) মিথ্যা। (ক) ও (খ) মিথ্যা
হাওয়া মানে , সুব্রত রায় হচ্ছে সহকারী ও প্রকাশ ভদ্র খুনী।
সেক্ষেত্রে হিমাংশু লাহিড়ীকে নির্দোষ হতে হবে, অর্থাত্
(গ) কখনোই সত্যি হতে পারে না।
এবার ধরা যাক, (ক) সত্যি, (খ) ও (গ) মিথ্যা। (খ) ও (গ)
মিথ্যা হওয়া মানে প্রকাশ ভদ্র খুনী এবং হিমাংশু লাহিড়ী
নির্দোষী। এক্ষেত্রে সুব্রত রায়কে সাহায্যকারী হতে হয়,
অর্থাত্ (ক)-কে মিথ্যা হতে হয়।
এখন ধরা যাক, (খ) সত্যি, (ক) ও (গ) মিথ্যা। (ক) ও (গ)
মিত্যহা হওয়ার অর্থ সুব্রত রায় সাহাযকারী এবং হিমাংশু
লাহিড়ী নির্দোষী। এক্ষেত্রে প্রকাশ ভদ্রকে খুনী হতে হবে
এবং (খ)-কে মিথ্যা হতে হবে।
সুতারং, দেখা যাচ্ছে
যে, নির্দোষী ব্যক্তির বিবৃতি থেকে শুধু একটা নয় দুটি
তথ্য নেওয়া হয়েছে। অর্থাত্, তিনটি তথ্যের মধ্যে দুটি হতে
হবে সত্যি।
প্রথমে ধরা যাক (ক)
মিথ্যা, (খ) ও (গ) সত্যি। এখন প্রশ্ন অনুসারে বিবৃতিকারী
নিজের সম্পর্কে কোনও তথ্য দেয় নি। সুতরাং (খ) ও (গ) সত্যি
হওয়া মানে নির্দোষী ব্যক্তি হল সুব্রত রায়, কারণ একমাত্র
তার পক্ষেই ঐ দুটি তথ্য দেওয়া সম্ভব
কিন্তু সুব্রত রায় নির্দোষী হতে পারে না, কারণ সেক্ষেত্রে
(ক)- কে সত্যি হতে হয়।
এবার ধরা যা, (খ) মিথ্যা, (ক) ও (গ) সত্যি। সেটা সম্ভব
যদি প্রকাশ ভদ্র নির্দোষী হয়, কারণ (ক) ও (গ)-র কোথাও
প্রকাশ ভদ্রের নাম উল্লেখ করা হয় নি। কিন্তু প্রকাশ ভদ্রের
নির্দোষ হওয়া সম্ভব নয়, কারণ সেক্ষেত্রে (খ)-কে সত্যি
হতে হয়।
এবার ধরা যাক (গ)
মিথ্যা, (ক) ও (খ) সত্যি। এক্ষেত্রে হিমাংশু লাহিড়ীকে
নির্দোষী হতে হয়, কারণ (ক) ও (খ) - একমাত্র তার বিবৃতি
থেকেই পাওয়া সম্ভব। হিমাংশু লাহিড়ী আবশ্যই নির্দোষী, কারণ
(গ) হচ্ছে মিথ্যা। অতএব এইবার কোথাও কোনো অসঙ্গতি থাকছেন
না। (ক) ও (খ) সত্যি হওয়া মানে সুব্রত রায় সাহাযকারী নয়,
সেই খুনী। প্রকাশ ভদ্র হচ্ছে তার সাহায্যকারী।
চোখের
ধাঁধা
অসম্ভব
সিঁড়ি
এর ওপর ভিত্তি করেই ডাচ শিল্পী এশার তাঁর দুটি বিখ্যাত
ছবি 'অzাসেণ্ডিং এণ্ড ডিসেণ্ডিং' এবং 'ওয়াটার ফল্স' এঁকেছিলেন।
রঙ পরিবর্তন!
ষ-এর উপরের আর নীচের বর্গক্ষেত্রগুলোর রঙ কিন্তু একই!
অলীক বিন্দু!
তাকিয়ে থাকলে যে ছাই-রঙের বিন্দুগুলো মাঝে মাঝে চোখে পড়ছে
- সেগুলোর কোনো অস্তিত্বই নেই।
এক বৃত্তের ভিন্ন আকার!
ভেতরের দুটো বৃত্তই এক মাপের।
সমান্তরালে সাজানো বর্গক্ষেত্র।
হঠাত্ দেখলে কি মনে হবে - বর্গক্ষেত্রগুলো সমান্তরাল ভাবে
সাজানো?
কালো না সাদা?
লাইনগুলো যেখানে ছেদ করছে - সেখানে অাঁকা বৃত্তগুলি প্রত্যেকটিই
সাদা।
উত্তর:
সিঁড়ি লাফানোর সমস্যা:
সিঁড়ির সংখ্যা যদি
এমন হত যে প্রত্যেকে তাদের শেষ লাফেও অন্যান্যবারের মত
একই সংখ্যক সিঁড়ি পার হত, তাহলে এটা হয়ে যেত সাধারণ ল.
সা. গু-র প্রশ্ন - এবং মোট সিঁড়ির সংখ্যা হত ৩ষ৪ষ৫, অর্থাত্
৬০। কিন্তু ছবিতে দেখা যাচ্ছে যে, অমলের শেষ লাফের আগে
মাত্র একটা সিঁড়ি বাকি আছে। কমল দোতালার সাতটা সিঁড়ি পেছনে।
এর পরের লাফে চারটে সিঁড়ি পার হবার পর, শেষ লাফে তাকে
আর তিনটে সিঁড়ি পার হতে হবে। বিমলের ক্ষেত্রে শেষ লাফে
চারটে সিঁড়ি টপকাতে হবে। অতএব মোট সিঁড়ির সংখ্যা হবে ন্যুনতম
সেই সংখ্যা যাকে ৩, ৪ এবং ৫ দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ১,
৩ এবং ৪ অবশিষ্ট থাকে। এবার দেখা যাক কোন কোন সংখ্যাকে
৫ দিয়ে ভাগ করলে ৪ অবশিষ্ট থাকে। সেগুলি হচ্ছে, ৯, ১৪,
১৯ ইত্যাদি। এদের মধ্যে ১৯-কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ৩, আর ৩
দিয়ে ভাগ করলে ১ অবশিষ্ট থাকে। এতএব ১৯টা সিঁড়ি হবে উত্তর।
ড্যুডনির মাছি ও
মাকড়সা সমস্যা:
এটি
কিন্তু খুবই কঠিন সমস্যা - এটা বোঝার জন্য পিথাগরাসের
উপপাদ্য জানাও প্রয়োজন।
প্রথম বিবেচনায় মনে
হতে পারে যে, মাকড়সার পক্ষে সবচেয়ে সোজা পথ হবে - সোজা
মাটিতে নেমে এসে, মেঝের উপর দিয়ে হেঁটে, দেয়াল বেয়ে উঠে
মাছিকে ধরা। এক্ষেত্রে মাকড়সাকে মোট ১১ + ৩০ + ১, অর্থাত্
৪২ ফুট হাঁটতে হবে। কিন্তু এর থেকেও কম হেঁটে মাছির কাছে
যাওয়া সম্ভব। চিন্তা করা যাক যে, দেয়াল ছাদ, ইত্যাদি সব
ঘুরিয়ে দিয়ে মেঝের সমতলে আনা হল (ক ছবি)। (যাঁদের এ ব্যাপারে
সন্দেহ আছে, তাঁরা ছবিটিকে কপি করে চারধার কাঁচি দিয়ে
কেটে বাদ দিয়ে, ভেতরের দাগ বরাবর যদি ভাঁজ করেন, তাহলে
চৌকো ঘরটা পেয়ে যাবেন)। 
এই
ছবিতে মাছি ও মাকড়সার অবস্থান ও মাকড়সার সবচেয়ে দ্রুত
পথ দেখানো হয়েছে। এই পথটি দেয়াল-ছাদ-মেঝে এই সবের কোণাগুলোকে
খ, গ, ঘ, ও ঙ বিন্দুতে ছেদ করছে। খ ছবিতে চৌকো ঘরের ছবির
ওপর মাকড়সার পথটা এঁকে দেখানো হয়েছে। ক ছবি থেকে পিথাগরাস
উপপাদ্য ব্যবহার করে দূরত্বটা বার করা যাবে। সেটি হবে
অর্থাত্
৪০ ফুট।
উত্তর:
কারা
ক'জন?
ধরাযাক: পুরুষের
সংখ্যা ছিল ক, মহিলাদের সংখ্যা খ এবং বাচ্চাদের সংখ্যা
গ।
তাহলে প্রশ্ন অনুসারে
ক + খ + গ = ২০
এবং ৩ক + ২খ + ০.৫গ = ২০
দ্বিতীয় সমীকরণকে ২ দিয়ে গুণ করে লেখা যায়,
৬ক + ৪খ +গ = ৪০।
শেষের সমীকরণ থেকে প্রথমটি বাদ দিলে পাওয়া যাবে,
৫ক + ৩খ = ২০
ক এবং খ ভগ্নাংশ হতে পারে না। উপরের সমীকরণে, ক যদি ১
হয়, খ হতে হবে ৫; সেক্ষেত্রে প্রথম সমীকরণ থেকে গ হবে
১৪। অর্থাত্ সেই বাড়িতে ১ জন পুরুষ, ৫ জন মহিলা এবং ১৪
জন বাচ্চা ছিল।
প্রসঙ্গতঃ, রুটির সংখ্যা যদি ২০-র বদলে ১৩ হত, তাহলে একই
ভাবে প্রমাণ করা যেত, পুরুষের সংখ্যা ২, মহিলার সংখ্যা
১ এবং বাচ্চাদের সংখ্যা ১০। রুটির সংখ্যা ১১ হলে পুরুষের
সংখ্যা হত ১, মহিলার সংখ্যা ২, বাচ্চাদের সংখ্যা ৮।
উত্তর:
১০০-র
খেলা:
একটু ভাবলেই বোঝা
যাবে যে, যদি কেউ তার দানে সংখ্যা যোগ দিয়ে যোগফলকে ৮৯-এ
নিয়ে যেতে পারে, তাহলেই সে জিতবে। কারণ অন্যপক্ষ যে সংখ্যাই
দিক, সে তার সঙ্গে আরেকটা সংখ্যা যোগ করে ১০০-তে পৌঁছতে
পারবে। এখন প্রশ্ন হল, কী করে প্রথম জন ৮৯-এ পৌঁছতে পারবে।
৮৯-এ পৌঁছতে হলে প্রথমজনকে অবশ্যই নিজের সংখ্যা যোগ করে
৭৮-এ পৌঁছতে হবে। কারণ সেক্ষেত্রে অন্যপক্ষ যে সংখ্যাই
দিক না কেন, সে নিজের সংখ্যা যোগ করে ৮৯-এ পৌঁছতে পারবে।
এখন ৭৮-এ পৌঁছনো নিশ্চিত করতে হলে প্রথম জনকে ৬৭-তে পৌঁছতে
হবে। ৬৭-তে পৌঁছতে হলে ৫৬, ৫৬-তে পৌঁছতে হলে ৪৫, ৪৫-এ
পৌঁছতে হলে ৩৪, ৩৪-এ পৌঁছতে হলে ২৩; ২৩-এ পৌঁছতে হলে ১২,
আর ১২-তে পৌঁছতে হলে ১। অর্থাত্ প্রথম জন ১ দিয়ে খেলাটা
সুরু করবে। বলাবাহুল্য দ্বিতীয়জন খেলার এই কৌশলটা না জানলে,
সে খেলা সুরু করেও জিততে পারবে না। কারণ প্রথম জন সুযোগ
পেলেই ১২, ২৩, ৩৪ ইত্যাদির মধ্যে একটি সংখ্যায় গিয়ে পৌঁছবে।
একবার সেখানে পৌঁছতে পারলেই কেল্লা ফতে!
উত্তর:
দশ
প্রশ্ন:
প্রথমে বার করতে
হবে সংখ্যাটি ১০২৪-এর অর্ধেক, অর্থাত্ ৫১২-র নিচে না উপরে
রয়েছে। তারপর বার করতে হবে যে ৫১২-র মধ্যে সংখ্যাটি রয়েছে,
তার কোন অর্ধে, অর্থাত্ কোন ২৫৬-র ভাগের মধ্যে রয়েছে।
তার পরের প্রশ্নে বার করতে হবে সেই ২৫৬-র দুভাগের কোন
ভাগে, অর্থাত্ কোনো ১২৮-এর মধ্যে রয়েছে। এইভাবে কোন ৬৪,
কোন ৩২, কোন ১৬, কোন ৮, কোন ৪, কোন ২ করে আসল সংখ্যায়
পৌঁছনো যাবে।
একটা উদাহরণ নেওয়া
যাক: ধরা যাক কেউ ভাবলো ৮০৪। প্রশ্নগুলো ও তার উত্তর সেক্ষেত্রে
এইরকম হবে।
| প্রশ্ন |
উত্তর |
| (১) সংখ্যাটি
৫১২-র কম? |
না |
(২) সংখ্যাটি
৭৬৮-র কম?
(প্রথম প্রশ্ন থেকে আমরা জানি যে সংখ্যাটি ৫১২ থেকে
১০২৪-এর মধ্যে রয়েছে। ৫১২-র সঙ্গে ২৫৬ যোগ করলে আমরা
পাই ৭৬৮। এবার বার করতে সংখ্যাটা ৭৬৮-র উপরে ২৫৬-র
মধ্যে রয়েছে, না ৭৬৮-র নিচের ২৫৬-র মধ্যে রয়েছে।)
|
না |
(৩) সংখ্যাটি
কি ৮৯৬-র কম?
(৮৯৬ হল ৭৬৮ + ১২৮) |
হ্যাঁ |
(৪) সংখ্যাটি
৮৩২-র কম?
(৮৩২ হল ৮৯৬ - ৬৪) |
হ্যাঁ |
(৫) সংখ্যাটি
কি ৮০০-র কম?
(৮০০ হল ৮৩২ - ৩২) |
না |
(৬) সংখ্যাটি
কি ৮১৬-র কম?
(৮১৬ হল ৮০০ + ১৬) |
হ্যাঁ |
(৭) সংখ্যাটি
৮০৮-এর কম?
(৮০৮ হল ৮১৬ - ৮) |
হ্যাঁ |
(৮) সংখ্যাটি
৮০৪-এর কম?
(৮০৪ হল ৮০৮ - ৪) |
না |
(৯) সংখ্যাটি
কি ৮০৬-এর কম?
(৮০৬ হল ৮০৪ + ২) |
হ্যাঁ |
(১০) সংখ্যাটি
কি ৮০৫-এর কম?
(৮০৫ হল ৮০৬ - ১) |
হ্যাঁ |
যেহেতু সংখ্যাটি ৮০৫-এর
কম, কিন্তু ৮০৪-এর কম নয়, তাহলে সংখ্যাটি ৮০৪ হতে হবে।
উত্তর:
অঙ্ক
অনুমানের খেলা:
এই খেলার মূলে রয়েছে
আঙ্কিক মূল বা ধগেতেঅল ঋওওত-এর একটা বৈশিষ্ট্য। একটি সংখ্যার
আঙ্কিক মূল বার করতে হলে সেই সংখ্যার প্রতিটি অঙ্ক যোগ করতে
হয়। যোগফল যদি এক অঙ্কের বেশি সংখ্যা হয়, তাহলে সেই সংখ্যার
অঙ্কগুলিকে আবার যোগ করতে হয়। এই ভাবে যতক্ষণ না এক অঙ্কের
সংখ্যা না পাওয়া যাচ্ছে ততক্ষণ এই পদ্ধতি চালিয়ে যেতে হয়।
এক অঙ্কের সংখ্যা যখন পাওয়া যাবে, সেটাই হবে প্রথম সংখ্যার
আঙ্কিক মূল। যেমন, ৮২,৩১৭-র আঙ্কিক মূল বার করতে হলে প্রথমে
৮,২,৩,১,৭ যোগ করতে হবে। যোগ করে পাওয়া গেল দুই অঙ্কের সংখ্যা
২১। এবার ২ ও ১ যোগ করতে হবে। পাওয়া গেল ৩। সেটাই হবে আঙ্কিক
মূল। বড় সংখ্যার আঙ্কিক মূল বার করতে খাতা পেন্সিলের দরকার
হয় না। অঙ্কগুলো যোগ করার সময় যোগফল ৯-এর বেশি হলেই তা থেকে
৯ বাদ দিয়ে যোগ করা চালিয়ে যেতে হবে। এই ভাবে ৯ বাদ দিয়ে
দিয়ে এক অঙ্কের সংখ্যাই পাওয়া যাবে।
আঙ্কিক মূলের বৈশিষ্ট্য
হল যদি কোনো সংখ্যাকে ৯ দিয়ে গুণ করা যায়, তাহলে তার আঙ্কিক
মূল সব সময়েই ৯ হবে। এই বৈশিষ্ট্য কাজে লাগিয়েই অঙ্ক অনুমানের
খেলাটা খেলা সম্ভব। অর্থাত্ সংখ্যাগুলো যখন পড়া হবে, তখন
সেগুলো যোগ করতে করতে এবং ৯-এর বেশি হলেই সেখান থেকে ৯ বাদ
দিয়ে শেষ পর্যন্ত একটা সংখ্যা পাওয়া যাবে। ধরা যাক সেই সংখ্যাটা
হল ৭। সেক্ষেত্রে গোলকরে বাদ দেওয়া সংখ্যাটা হবে ২। কারণ
সেক্ষেত্রেই সংখ্যার আঙ্কিক মূল হবে ৯।
উত্তর:
কে
খরগোশ পুষতো?
(৯) অনুসারে ভারতীয়
প্রথম বাড়িতে থাকত; (১৪) অনুসারে নীল বাড়িটা তার পাশের বাড়ি।
(৪) অনুসারে সবুজ বাড়ি সাদা বাড়ির বাঁ পাশে। সুতরাং সবুজ,
নীল ও সাদা - কোনও বাড়িতেই ভারতীয় থাকতে পারে না। লাল বাড়িতেও
পারে না, কারণ (১) অনুসারে সেখানে সেখানে বৃটিশ লোকটি থাকে।
অতএব ভারতীয় থাকতো হলুদ বাড়িতে। তারমানে বাড়িগুলো সাজানো
ছিল হয়: (ক) হলুদ, নীল, লাল, সবুজ সাদা; অথবা (খ) হলুদ,
নীল, সবুজ, সাদা, লাল - এই হিসাবে। এখন আমরা জানি, মধ্যের
বাড়িতে যে থাকতো, সে খেত দুধ। কিন্তু (৫) অনুসারে সবুজ বাড়ির
লোকটি খেতো কফি। অতএব (ক)-তে যেভাবে বাড়িগুলি সাজানো হয়েছে,
সেটাই ঠিক।
ফ্রেঞ্চম্যান চা খায়,
সুতরাং হয় সে নীল বাড়িতে থাকে কিংবা সাদা বাড়িতে, কারণ হলুদ
বাড়িতে ভারতীয় থাকে, লাল বাড়িতে বৃটিশ এবং সবুজ বাড়ির লোকটি
কফি খায়। কিন্তু আমরা জানি যে আমেরিকান কুকুর পোষে, আর নীলবাড়ির
লোকটি ঘোড়া পোষে (৭ এবং ১১)। তাহলে একমাত্র জার্মান আর ফ্রেঞ্চম্যান-এর
পক্ষেই নীলবাড়িতে থাকা সম্ভব। কিন্তু সহজেই প্রমাণ করা যায়
যে, জার্মান নীল বাড়িতে থাকতে পারে না। কারণ সেক্ষেত্রে,
ফ্রেঞ্চম্যান-কে সাদা বাড়িতে এবং আমেরিকানকে সবুজ বাড়িতে
থাকতে হয়। এই অবস্থায় বৃটিশ-এর পক্ষে ক্যাপস্টান (১৩), ডানহিল
(৭), উইল্স (১০ এবং ১৫) বা চারমিনার (১২) কোনোটাই খাওয়া
সম্ভব নয়, তাকে পলমলই খেতে হবে। বাকি রইলো উইল্স আর চারমিনার।
কিন্তু আমেরিকান সবুজ বাড়িতে থাকলে চারমিনার (১২) খেতে পারে
না; কিন্তু সে উইল্স খেলে ফ্রেঞ্চম্যানের জন্য বাকি থাকে
চারমিনার - সেখানেও গোল বাধছে(১২, ১৫, ৮)।
উপরের আলোচনা থেকে বোঝা যাচ্ছে যে, নীল বাড়িতে একমাত্র ফ্রেঞ্চম্যান-এর
পক্ষেই থাকা সম্ভব। সিগারেটের মধ্যে ফ্রেঞ্চম্যান খেত উইল্স,
আর আমেরিকান খেত চারমিনার। এইবার অন্যান্য তথ্য থেকে ভারতীয়
খেত জল (১৫), ফ্রেঞ্চম্যান চা (৩), বৃটিশ দুধ(৮), জার্মান
কফি (৫) এবং আমেরিকান কোকোকোলা (১২)। ভারতীয় পুষতো বেড়াল
(১০), ফ্রেঞ্চম্যান ঘোড়া (১১), বৃটিশ পাখি (৬), আমেরিকান
কুকুর (২)। বাকি রইলো জার্মান আর খরগোশ।
উত্তর:
পাণ্ডবদের
ভেট:
প্রত্যেক পাণ্ডব ১/৫
ষ(৯ + ৯ ষ৩/৪ + ৯ষ ১/২ + ৯ ষ১/৪) = ১৮/৪ হাঁড়ি গুড় পাবেন।
ধরা যাক, যে কোনও একজন পাণ্ডব কসংখ্যক
পুরোভর্তি হাঁড়ি, খসংখ্যক
৩/৪ ভর্তি হাঁড়ি, গসংখ্যক
১/২ ভর্তি হাঁড়ি, ঘসংখ্যক
১/৪ ভর্তি এবং ঙসংখ্যক শূন্য
হাঁড়ি পেয়েছেন। সেক্ষেত্রে প্রশ্ন অনুসারে,
ক
+ ৩/৪ খ+
১/২ গ+ ১/৪ ঘ=
১৮/৪,
এবং
ক + খ+
গ+ ঘ+
ঙ= ৯
উপরের সমীকরণদুটির
বিভিন্ন সমাধান সম্ভব। সমাধানগুলি পেতে হলে ক
, খইত্যাদির বদলে বিভিন্ন
সংখ্যা বসিয়ে বার বার চেষ্টা করে দেখতে হবে যে সমান চিেþর
ডানদিক প বাঁ দিক অভিন্ন হচ্ছে কিনা। যেহেতু ক,
খইত্যাদি কখনোই শূন্য হতে
পারে না, তাহলে উপরের সমীকরণের ৮-টি সমাধান সম্ভব।
আমরা জানি পাণ্ডবদের
সংখ্যা হল ৫। সুতরাং এই সমাধানগুলি থেকে ৫-টিকে আমাদের বাছতে
হবে। এটি বাছার উপায় হল, ক,
খইত্যাদি কলমগুলি যোগ করা
এবং যেহেতু বিভিন্ন ধরণের হাঁড়ির সংখ্যা ৯, এই সমাধানগুলি
থেকে এমন তিনটি সমাধান বাদ দিতে হবে যাতে যোগফলগুলির সংখ্যা
৯ হয়। সেটা সম্ভব যদি, যদি, ২, ৫ ও ৮ অথবা ৩, ৫ ও ৭, কিংবা
৪, ৫ ও ৬-কে বাদ দেওয়া হয়। অর্থাত্ এই প্রশ্নের তিনটি মৌলিক
সমাধান আছে: (অ) ১, ৩, ৪, ৬ ও ৭; (আ) ১, ২, ৪, ৬ ও ৮; এবং
(ই) ১, ২, ৩, ৭ ও ৮ । প্রথম মৌলিক সমাধানটি বাছলে, নিচের
ছকটি পাওয়া যাবে।
উপরের মৌলিক সমাধান
থেকে আমরা আরও অনেক সমাধান পেতে পারি। যেমন যুথিষ্টিরের
ভাগ অর্জুন, অর্জুনের ভাগ যুথিষ্টির ইত্যাদি। এই রকম রদ
বদল করে একটা মৌলিক সমাধান থেকে ১২০-টি বিভিন্ন সমাধান পাওয়া
সম্ভব।
